Despeje de Formulas

A partir de la fórmula que te sirve para calcular el valor de una cierta magnitud, se pueden obtener mediante despejes matemáticos nuevas fórmulas que te permitan calcular el valor de las otras magnitudes que se encuentran en esa fórmula inicial. 

Por ejemplo, a partir de la fórmula que te permite calcular la rapidez promedio de un cuerpo:

                                                   

se pueden obtener dos nuevas fórmulas que te permitiran realizar el:

• cálculo de distancia,
• cálculo de tiempo.

Calculo de la distancia : Para calcular la distancia que un cuerpo recorre durante un cierto tiempo y  sabiendo la rapidez promedio que posee el cuerpo, deberás utilizar la siguiente fórmula:
 

Donde:

d = distancia medida en m

s = rapidez promedio medida en m/s

t = tiempo medido en s

Por ejemplo:

Caminás desde tu casa a la plaza con una rapidez promedio de 2 m/s y tardas en llegar 25 s. Calcula la distancia a la que se encuentra tu casa de la plaza. 

Lees el problema y extraes datos e incógnita:

s = 2 m/s

t = 25 s

d = ?

Eliges la fórmula que te permite calcular la incógnita a partir de tus datos

d = s . t

Reemplazas los datos en la fórmula:  

d = 2 m/s . 25 s 

Calculas el resultado numérico y colocas la unidad en que se mide el tiempo:

d = 50 m

La plaza se encuentra a 50 m de tu casa .

Calculo del tiempo: Para calcular el tiempo que tarda un cuerpo en recorrer una cierta distancia, sabiendo la rapidez promedio que posee el cuerpo, deberás utilizar la siguiente fórmula:

                                                   
Donde:
t = tiempo medido en s.
s = rapidez promedio medida en m/s.
d = distancia medida en m.
Por ejemplo:
Caminás desde tu casa a la plaza que se encuentra a 50 m  con una rapidez promedio de 2 m/s. ¿Cuánto tiempo tardarás en llegar a la plaza? 
Lees el problema y extraes datos e incógnita:
s = 2 m/s.
d = 50 m.
t = ?.
Eliges la fórmula que te permite calcular la incógnita a partir de tus datos:
t = d / s.
Reemplazas los datos en la fórmula:  
t = 50 m / 2 m/s.
Calculas el resultado numérico y colocas la unidad en que se mide el tiempo:
t = 25 s.
Tardaste 25 s en llegar a la plaza .

Triángulos notables

Son triángulos rectángulos cuyos lados son "conocidos" En Triangulo rectángulo es Un triangulo con un ángulo de 90° Usamos EL TEOREMA DE PITAGORAS para Hallar las medidas de los catetos o hipotenusa a c b Catetos BC y CA Hipotenusa AB Alfa +Beta = 90° Son varios los triángulos notables conocidos La mayoría de los casos, las relaciones entre sus lados se limitan a número enteros o número irracionales

Podemos caracterizar a un triángulo como notable cuando existe una relación conocida entre sus lados. En la mayoría de los casos, las relaciones entre sus lados se limitan a número enteros o número irracionales. Los triángulos notables más conocidos son:

Triángulo Notable de 45º y 45º

 

Triángulo Notable de 30º y 60º

Triángulo Notable de 15º y 75º

Triángulo Notable de 18º y 72º

                                                                                                                                                                                       

        

       

Triángulo Notable de 36º y  54°

                   Triángulo Notable de 8° y 52°            

                  Triángulo Notable de 16°  y 74°          

                   Triángulo Notable de 37º y 53º            

Triángulo Notable de 37º/2°                                             Triángulo Notable de  53º/2°

Funciones Trigonométricas:

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo alfa; con vértice en A, son:

• El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente.

Ejemplo:

                                              MAGNITUDES

   

MAGNITUD: Es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un número y que puede ser estudiado en las ciencias experimentales (que son las que observan, miden, representan, obtienen leyes, etc.).La bondad de un hombre no se puede medir y jamás la Física estudiará la bondad. La bondad, el amor, la paz, etc. , no son magnitudes. Para estudiar un movimiento debemos conocer la posición, la velocidad, el tiempo, etc. Todos estos conceptos son magnitudes. Para cada magnitud definimos una unidad. Mediante el proceso de medida le asignamos valores (números) a esas unidades. La medida es ese número acompañado de la unidad.

MAGNITUD FÍSICA: Es aquella propiedad o característica de un fenómeno físico o un objeto que puede medirse y expresar su resultado mediante un número y una unidad. Son magnitudes la longitud, la masa, el volumen, la cantidad desustancia, el voltaje, etc. Son magnitudes físicas fundamentales: longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa, si a estas magnitudes seles añaden dos magnitudes complementarias: el ángulo sólido y el ángulo plano, a partir de ellas pueden expresarse TODAS las demás magnitudes físicas.

    

                     Teoria del Error  

Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se basan en resultados de medidas experimentales, por lo tanto es muy importante expresar dichos resultados con claridad y precisión. Los conceptos de magnitud física, unidades y medida se han estudiado en la primera lección de Fundamentos Físicos de la Informática y, como complemento, en este capítulo se pretende aprender a estimar los posibles errores en las medidas, así como la propagación de estos errores a través de los cálculos a los resultados, a expresar los resultados y a analizarlos. Dado que los contenidos de esta asignatura son fundamentalmente electricidad y magnetismo, en este curso haremos más hincapié en las medidas de magnitudes eléctricas. 

Hay otros parámetros para cuantificar errores y expresar resultados de las medidas, basados en conceptos estadísticos, que no se tratarán en esta asignatura, pero que son igualmente importantes.

Objetivos.

• Conocer el concepto de error asociado a una medida.
• Aprender a estimar el error accidental.
• Conocer el concepto de error sistemático y su corrección mediante curvas de calibrado.
• Saber cuantificar los errores cometidos en las medidas indirectas.
• Conocer la notación correcta de los resultados de las magnitudes medidas.

 Introducción. Valor estimado y error asociado en medidas directas.

Medir es comparar con un patrón. Por ejemplo, si medimos la anchura del laboratorio poniendo un pie delante de otro, podemos decir que la anchura del laboratorio es 18 pies, siendo nuestro patrón un pie. Ahora bien, una medida nunca puede ser exacta, es decir, siempre cometemos un error, por lo que nuestra medida no será completa sin la estimación del error cometido. Unas veces ese error será debido a los instrumentos de medida, otras a nuestra propia percepción, etc. Los errores al medir son inevitables.

En función de la naturaleza del error podemos definir dos tipos de error:

• Errores sistemáticos: Son debidos a problemas en el funcionamiento de los aparatos de medida o al hecho de que al introducir el aparato de medida en el sistema, éste se altera y se modifica, por lo tanto, la magnitud que deseamos medir cambia su valor. Normalmente actúan en el mismo sentido.
• Errores accidentales: Son debidos a causas imponderables que alteran aleatoriamente las medidas. Al producirse aleatoriamente las medidas se distribuyen alrededor del valor real, por lo que un tratamiento estadístico permite estimar su valor.

Debido a la existencia de errores es imposible conocer el valor real de la magnitud a medir. Si somos cuidadosos podemos controlar los errores sistemáticos, en cuanto a los errores accidentales podemos reducirlos si tomamos un conjunto de medidas y calculamos su valor medio. Tomaremos como valor estimado de la medida el valor medio de las distintas medidas realizadas.

Supongamos que se pretende medir la longitud L de una barra y se obtienen dos conjuntos de medidas:

Grupo a : 146 cm, 146 cm, 146 cm
Grupo b : 140 cm, 152 cm, 146 cm

En ambos casos el valor estimado es el mismo (146 cm). Sin embargo, la precisión de las medidas no es la misma. ¿Cómo podemos diferenciar la precisión de dos medidas? Mediante el concepto de error o incertidumbre que definiremos más adelante.

A la hora de expresar una medida siempre se ha de indicar el valor observado junto con su error y la/s unidad/es correspondiente/s. Podemos decir que el valor verdadero de la medida se encuentra con una alta probabilidad en un intervalo cuyos límites son la estimación de la medida más/menos el error estimado.

Medida = Valor observado ± Error       Unidad

En el ejemplo anterior, una vez estimado el error se escribiría: L = 146 ± 4 cm
  
                  Análisis Dimensional
El análisis dimensional estudia la forma como se relacionan las magnitudes fundamentales con las derivadas. Aplicado a una ecuación física, permite evaluar si la ecuación es dimensionalmente correcta (homogénea).Es una igualdad matemática de tipo algebraico que expresa las relaciones existentes entre las magnitudes derivadas y las fundamentales. Sea: X la magnitud física. [ X ] Fórmula dimensional de “X” o ecuación dimensional de X o dimensión de X.

Aplicaciones del análisis dimensional
Las ecuaciones dimensionales se aplican para:

 • Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas.

• Deducir fórmulas físicas a partir de datos experimentales.

• Encontrar las unidades de cualquier magnitud derivada en función de las fundamentales.

Principio de Homogeneidad“A una masa solo se le puede sumar o restar otra masa y como resultado se obtendrá una masa; de la misma manera a una longitud solo se le puede sumar o restar otra longitud y el resultado será otra longitud. Es imposible sumar una longitud a una masa”

Problema resuelto

• La velocidad (V) de caída de un objeto en función del tiempo (t), está dada por la ecuación: V=A+2Bt 
Deduce las dimensiones de A y B.

Solución:

• Escribimos la ecuación dimensional de la fórmula física, aplicando el principio de homogeneidad: [V] = [A] = [2] [B] [t]2.
 Reemplazamos las dimensiones de la velocidad y del tiempo. Los números son adimensionales y por lo tanto se reemplazan por la unidad3. Resolvemos y obtenemos las dimensiones de A y B. La dimensión de A corresponde a la velocidad y la dimensión de B a la aceleración.

Sistema Internacional de Unidades
 El Sistema Internacional de Unidades (SI) es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se puede expresar cualquier unidad de una magnitud derivada. En virtud de un acuerdo firmado en 1960, en la mayor parte del mundo se utiliza el SI de unidades. “En 1983 el presidente del Perú, Fernando Belaunde, promulgó la ley que hace obligatoria la enseñanza del SI en todos los centros educativos” Magnitud básica Unidad Definición anterior Definición actual De longitud Metro m “La distancia que hay entre dos A partir de 1982 “Un metro es la marcas hechas en una barra de distancia que recorre la luz en el platino e iridio (distancia vacío en un tiempo de denominada metro patrón”, se 1/299 972,458 de segundo” conserva en la oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sevres, Paris. De masa Kilogramo kg Es la masa de un bloque de platino e iridio (bloque denominado kilogramo patrón), se conserva en la oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sevres, Paris. De tiempo Segundo s Durante mucho tiempo se definió Un segundo es la duración que como 1/86 400 del día solar medio tienen 9 192 631 770 períodos de una determinada radiación de cesio-133.

Notación Científica

Cuando escribimos números muy grandes o muy pequeños utilizamos la notación científica. 

Por ejemplo, en lugar de escribir 24 000 000, escribiremos2, 4 107; y en lugar de escribir 0,00000024, podremos 2,4 10-7, para trabajar connotación científica hemos de tener en cuenta las reglas algebraicas de operaciones con potencias, estas son: Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes: am an = a m+n. Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes: (am/an) = a m-n Potencia de potencia se multiplican los exponentes: (am)n= a mn.

Por ejemplo:(4,2 x103)(5,1 x 105) = 21,14 108 = 2,1 109(4,2 x 103)/(5,1 x 105) = 0,82 10-2 = 8,2 10-3

Vectores Colineales: Son Vectores que son paralelos a una recta o que están en una recta se llaman colineales.

•    Condiciones de colinealidad de vectores.
•     Dos vectores son colineales si las relaciones de sus coordenadas son                  iguales.
•     Dos vectores son colineales si su producto vectorial equivale a cero.

Un vector es una línea determinada por:

•   Una magnitud
•   Una dirección
•    Un sentido
•    Un punto de aplicación

Es útil para representar magnitudes como: velocidad, aceleración, fuerza, etcétera; de tal manera, que  se pueden realizar diversas operaciones aritméticas con éstos, en este caso analizaremos la suma…

Pero antes se deben tomar en cuenta las propiedades de los vectores:

1.  Conmutativa: a+b=b+a
2. Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
3.  Elemento Neutro: a+0=a
4.   Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Además de que aquellos vectores que tienen l misma dirección se sumarán, y los que tengan sentidos opuestos se restarán.

Existen 2 formas para sumar vectores:

1.        FORMA GRAFICA:

    «  MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

 Consiste en formar vectores concurrentes, por lo tanto, se deben trazar rectas paralelas a los vectores obteniendo un paralelogramo. En este caso, su diagonal coincidirá con la suma de los vectores.

 « MÉTODO DEL TRIÁNGULO Y DEL POLÍGONO

Estos generalmente se usan cuando contamos con 2 o más vectores.

Consiste en graficar un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro, después se une el origen del primer vector con el extremo del último vector, formando untriángulo o un polígono, el vector resultante será igual a la suma.

  2.     FORMA ANALÍTICA:

« SI SON VECTORES COLINEALES:

El resultado es igual a la suma algebraica de los módulos de los vectores :

→             → 

x=(x1, x2) y= (y1, y2)

→ → 

x +y=(x1+y1, x2, y2)

« SI SON VECTORES COPLANARES Y CONCURRENTES

La suma se obtiene con la siguiente fórmula:

           es decir : 

                  Metodo del Triangulo

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.

figura 1

En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal.

Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.

+ el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:

Ejemplo:

Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos ( el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.

Para ello empleemos la relación:

u dirección sería: